数学改变了年轻囚犯的世界 透过通信与大学教授一起探索太空宇宙
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太阳系模拟图。（Pixabay）(photo:UpMedia)我的朋友克里斯多福．杰克森（克里斯）是数学探险家。他受限于环境，但不受想像力的限制。他充满好奇心，有创造力，无所畏惧，执意坚决。克里斯喜欢好问题所能带来的挑战。
过去几年，克里斯都在旅行。他用崭新的眼光探索数学，开始发现它和以前所学到的枯燥数学类型不同。尽管隔离在监狱中，以及隔绝带来的难题，他对数学这门学科的认识和热爱却不断增加。我有幸远远观察他的转变。
克里斯的生活并不安逸。他在乔治亚州奥古斯塔（Augusta）的蓝领工人社区，由母亲、阿姨们和外祖母共同抚养长大。克里斯对自己的父亲根本没有记忆，父亲染上快克古柯硷毒瘾，后来在高速公路上发生车祸，被一辆联结车撞上，不幸丧生，死时克里斯还不到两岁。克里斯有受一些好的影响，母亲经常唸书给他听，把对书本的爱好灌输给他—但他也受到了某些负面影响，这让他在十几岁的时候染上毒瘾，还犯下他在给我的第一封信中描述的一连串案件。
我很谨慎看待2013年11月那封来自松节监狱的信，但也感到着迷。信是手写的，字迹工整，行文真诚。在我的想像中，来信者是个字斟句酌的年轻人。我看不到他，我只能透过他的文笔认识他，但也许这么一来，他的个性就更鲜明了。克里斯反省自己的坎坷过往，思考他希望看到的未来面貌，以及他透过看书自修从事数学兴趣的方式，让我深受感动。我很遗憾我任教的学校没有远距学程可提供给他。
*(photo:UpMedia)来自松节监狱的手写信。（脸书提供）
我和克里斯已经断断续续通信六年了，我们谈到数学方面的共同兴趣及人生。我征得克里斯同意，从我们的通信节录几段在这里分享，因为他的见解和经验可进一步阐明我在书中所说的一切。这不是关于我怎么帮助克里斯在狱中做数学的故事，而是关于克里斯怎么开始用新的方式看待自己和数学的故事。他的见解和旅程给了我灵感，要写一本书来谈圆满幸福，要更彻底相信数学对每个人都有助益。
我是个数学探险家，我的旅程和克里斯的旅程不同，但我们两人都受到数学探索的魅力诱使，而唤醒想像力。小时候我喜欢星星，我所生活的德州乡下小镇远离任何一座大城市，我甚至能看见最暗的星星。我央求父母买望远镜，但我们没有钱，所以我如饥似渴读了很多天文方面的书籍，幻想上太空。我想当个太空人，去其他的星球，跟新奇的生命形式邂逅相遇。这似乎很令人兴奋，直到我明白航向距离我们最近的恆星要花多久，然后想到我必须抛下的所有人。但这并没有阻止我继续幻想。我靠着科幻小说来满足自己的幻想，看一些像《夜幕低垂》（Nightfall）这样的故事看得入迷；艾萨克．艾西莫夫（Isaac Asimov）的这个短篇小说，在讲夜色终于降临在一个有六颗太阳的行星文明时所发生的故事。我可以在脑海中探访这个世界。
*(photo:UpMedia)土星反照下的土卫一（Mimas）。土星反射出的阳光照亮了这颗卫星。卡西尼环缝（在照片中的左侧）是土星环中最大的缝隙。图片由NASA/JPL-Caltech/Space Science Institute提供，「卡西尼号」太空船（Cassini）于2015年2月16日拍摄。（脸谱提供）
1970年代末和1980年代初，「太空探测船先锋号」（Pioneer）和「航海家号」（Voyager）穿越了太阳系，进一步激发我童年时的想像力。史上第一次，科学家拍摄到木星卫星和土星环的特写照片。飞抵这些行星，需要花许多年替这些无人太空船可能遇到的所有情况，不管好坏，进行具创造性的计画。就像科学家自己在远距离外做出发现一样，我也可以从德州南部的小镇，感同身受地探索这些行星。我很喜欢仔细研究报纸上刊登的「航海家号」传回影像。
我们真的可以在这些星球中看到数学。土星环在土星的赤道平面环绕着这颗行星。从远处看，土星环彷彿静止的环带，但这些环基本上是由大量像巨砾般大的岩石（小卫星）组成的，这些岩石主要是冰组成的，在重力的作用下绕着土星运行。1610年，天文学家伽利略首度透过望远镜观测到土星环，他不确定它们是什么，于是戏称为耳朵。后来的天文学家确认这些结构是环，且环与环之间有缝隙。「航海家号」太空船让我们看到土星环更细微的结构，例如高密度与低密度波纹的图样，很像老式黑胶唱片上的沟槽。
据我所知，土星环的某些结构可以用数学的见解来解释。与土星距离相同的所有冰冻岩石，都会花同样多的时间绕轨道运行一圈，这叫做轨道週期。距离土星较远的冰冻岩石，轨道週期比较长，绕行速度也比距离较近的岩石来得慢，因为受土星重力的影响比较小。不妨把土星环想成环绕着土星的跑道，在内侧跑道的人跑得比较快，跑的距离也比外侧跑道上的人来得短。
冰冻岩石的轨道週期与土星某颗卫星的週期刚好成整数比的时候，就会发生特殊的情况。举例来说，假设有块岩石和一颗卫星绕着土星运行，而且卫星在外侧轨道上绕一圈时，内侧轨道上的岩石绕了两圈。那块岩石每绕两圈，就会在轨道上的同一个位置跟卫星擦身而过。
这颗卫星在最接近那块岩石的时候，对岩石的万有引力最强大。由于这些反覆出现的拉力发生在同一个位置，所以往往会彼此强化，扰乱那块岩石的轨道，很像你跟着秋千的运动同步推秋千，会让秋千上的孩子越盪越高一样。因此，跟土星距离同样远，具有相同轨道週期的所有岩石，往往会从那个轨道摆动出去。这种效应称为轨道共振（resonance），而在效应非常强大时，可能会在土星环中造成缝隙。
*(photo:UpMedia)在内侧轨道上绕行土星的冰冻岩石，快追上土卫一了。倘若这颗岩石始终在同一个位置擦过土卫一，土卫一的重力影响可能就会累积起来，扰乱岩石的轨道。（脸谱提供）
最大的缝隙达4,800公里宽，称为卡西尼环缝（Cassini division），是绕轨道运行的岩石与土卫一之间2:1共振的结果。卫星与岩石週期的其他小整数比（如3:2或4:3），也可以获得共振效应，虽然没那么明显，而且通常更像波纹，不像缝隙。卫星与岩石之间的共振效应，可以解释土星环的许多特征。实际上我们看见的是，在这些冰冻岩石的细微轨道之舞中激起显眼模式的数值比（简单分数）！对于像我一样的孩子，运用数学与想像力做一点探索，就能让14.5亿公里外的天体更容易理解，是很令人喜悦的。
数学探索非常像太空探险，只是探究的空间不一样—数学在探索概念空间。你不知道启程之后会发现什么。你派出探测器去检验理论。谜团令你着迷，你受问题驱使，挫折没把你吓倒。你在远端有了发现：概念本身不是实体的，所以你透过推理进入这个空间。探索和理解正是做数学的核心意义。
很可惜，如果有人认为数学就只是算术，或是很久以前发现并确立的高深且更沉闷的东西，那么大家就不会把探索或探险一词和数学联想在一起。
学校所教的数学让你为未来的探索做好准备，但想像一下，倘若现在就可以一边学数学，一边探索数学的话，我们的经验会多么不同。你可以想像你在学习篮球规则，然后只练习罚球，却从不看比赛，也从不上场打球，直到你准备好成为职业球员为止—你会有什么感觉？学习可能就不会很快乐，而你现在也不会准备好。
※本文摘取自《生而为人的13堂数学课：透过数学的心智体验与美德探索，让你成为更好的人的练习》，脸谱出版。
*(photo:UpMedia)作者简介
苏宇瑞Francis Su
哈维穆德学院（Harvey Mudd College）Benediktsson-Karwa数学讲座教授，屡获殊荣的数学教育工作者，美国数学协会（MAA）前主席。获颁2013年海默奖（Deborah and Franklin Tepper Haimo Award，颁给全美大学数学教师的优良教学奖），并荣获2018年哈莫斯―福特数学写作奖（Paul R. Halmos-Lester R. Ford Award）。文章刊于《量子杂志》（Quanta Magazine）、《连线》杂志（Wired）和《纽约时报》。
译者简介
毕馨云
清华大学数学系毕业，曾任出版社科普书编辑十多年，目前为自由译者，假日在业余交响乐团拉大提琴。译有《这才是数学》、《科学酷妈的育儿大探险》、《数学好有事》、《帮孩子找到自信的成长型数学思维》、《逻辑的艺术》等，另有译作刊于《BBC知识》杂志。
